Investigações sobre a estabilidade de escoamentos laminares paralelos viscosos

Abstract

Reynolds (1883), demonstrou que a partir de um determinado parâmetro adimensional, conhecido como número de Reynolds, o escoamento transicionava de laminar para turbulento e, com isso, estabeleceu um valor crı́tico que determinava o comportamento do fluido. O estudo realizado por Reynolds estimulou as investigações teóricas de Orr (1907) e Sommerfeld (1908), que consideravam, de forma independentes, pequenas pertubações de ondas do movimento de um fluxo paralelo constante. Onde a combinação dos dois trabalhos gerou a equação de Orr- Sommerfeld, uma equação diferencial ordinária de quarta ordem que resulta em um problema de autovalor f (α, ω, Re) e que descreve as perturbações do escoamento. Esta equação se tornou a base para a teoria da estabilidade hidrodinâmica e investiga como as perturbações que podem estar presentes no escoamento são amplificadas ou amortecidas e como a evolução dessas perturbações estão relacionadas ao fenômeno de transição. As primeiras soluções para a equação de Orr-Sommerfeld na forma de um diagrama de instabilidade foram obtidas por Tollmien (1929) e Schlichting (1932). O presente trabalho trata o problema de estabilidade de escoamentos invı́scidos não estratificados. Tendo como objetivo a implementação e a verificação de códigos computacionais feito em Fortran 90 a respeito da solução da equação de Orr-Sommerfeld aplicado a camada limite sobre uma placa plana, adotando uma análise temporal e uma análise espacial. Os resultados do código voltado à resolução da equação de Orr-Sommerfeld são comparados com resultados da teoria de estabilidade linear, afim de validar o código.

Reynolds (1883), demonstrated that from a certain dimensionless parameter, known as Reynolds number, the flow transitioned from laminar to turbulent and, with this, he established a critical value that determined the behavior of the fluid. The study by Reynolds stimulated the theoretical investigations of Orr (1907) and Sommerfeld (1908), who independently considered small wave disturbances of the motion of a constant parallel flow. Where the combination of the two assignment generated the Orr-Sommerfeld equation, a fourth order ordinary differential equation that results in an eigenvalue problem f (α, ω, Re) and that describes the perturbations of the flow. This equation has become the basis for hydrodynamic stability theory and investigates how perturbations that may be present in the flow are amplified or damped and how the evolution of these perturbations are related to the transition phenomenon. The first solutions to the Orr- Sommerfeld equation in the form of an instability diagram were obtained by Tollmien (1929) and Schlichting (1932). The present coursework deals with the stability problem of unstratified inviscid flows. Its objective is the implementation and verification of computational codes made in Fortran 90 regarding the solution of the Orr-Sommerfeld equation applied to a boundary layer over a flat plate, adopting a temporal analysis and a spatial analysis. The results of the code for solving the Orr-Sommerfeld equation are compared with results from linear stability theory, in order to validate the code.