Estudo comparativo entre diferentes tipos de transformações polinomiais impostas aos pontos de Gauss para a avaliação numérica de integrais singulares com vistas para aplicação no método de elementos de contorno

Abstract

RESUMO: O método de elementos de contorno (MEC) vem se tornando cada vez mais popular nos últimos anos devido à sua eficiência em resolver uma vasta gama de problemas na engenharia, física e matemática. O MEC se fundamenta em formulações integrais, onde as equações diferenciais governantes são transformadas em equações integrais que devem ser avaliadas sobre a fronteira (contorno) da região onde o problema em estudo se aplica. Contudo, a representação do problema unicamente em termos de integrais de contorno só é possível porque as formulações integrais do MEC são desenvolvidas com base nas funções de Green. Por outro lado, o uso das funções e Green apresentam o inconveniente de assumirem valores infinitos em pontos específicos do domínio de integração, o que tem como consequência o aparecimento de integrais singulares que, no MEC, devem ser avaliadas numericamente. Assim, o desenvolvimento de novas técnicas de avaliação de integrais singulares torna-se um ponto crucial, pois tal fato está diretamente ligado com a precisão e a eficiência com que o método se apresenta. A abordagem sofisticada do MEC, aliada a técnicas específicas para lidar com integrais singulares, contribui para a resolução eficiente de problemas complexos. Dessa maneira, neste trabalho é analisada a eficiência da integração numérica de singularidades, a partir da utilização de uma nova técnica de transformação de coordenadas (transformação híbrida - DAN, 2015), a qual, aplicada aos pontos de Gauss, conduzem a resultados bastante precisos. A técnica em estudo consiste em uma transformação polinomial sexto grau, a qual resulta da combinação de outras duas transformações de coordenadas pré-existentes, as quais são, o polinômio cúbico de Telles (TELLES, 1987) e uma transformação quadrática, sendo esta última vastamente conhecida na literatura específica. É feita também a comparação dos resultados observados com aqueles obtidos pela aplicação do polinômio cúbico proposto de Telles e pela aplicação da transformação quadrática.

ABSTRACT: The boundary element method (BEM) has become increasingly popular in recent years due to its efficiency in solving a wide range of problems in engineering, physics, and mathematics. BEM is based on integral formulations, where the governing differential equations are transformed into integral equations that must be evaluated over the boundary (contour) of the region where the problem under study applies. However, the representation of the problem solely in terms of contour integrals is only possible because the integral formulations of BEM are developed based on Green's functions. On the other hand, the use of Green's functions has the inconvenience of assuming infinite values at specific points in the integration domain, which results in the appearance of singular integrals that, in BEM, must be evaluated numerically. Thus, the development of new techniques for evaluating singular integrals becomes a crucial point, as this fact is directly linked to the accuracy and efficiency with which the method presents itself. The sophisticated approach of BEM, coupled with specific techniques for dealing with singular integrals, contributes to the efficient solution of complex problems. In this way, in this work, the efficiency of numerical integration of singularities is analyzed, starting from the use of a new coordinate transformation technique (hybrid transformation - DAN, 2015), which, when applied to Gauss points, leads to highly accurate results. The technique under study consists of a sixth-degree polynomial transformation, which results from the combination of two other existing coordinate transformations, which are the cubic polynomial of Telles (TELLES, 1987) and a quadratic transformation, the latter being widely known in the specific literature. A comparison of the observed results is also made with those obtained by applying the proposed cubic polynomial of Telles and by applying the quadratic transformation.