Implementação do método das diferenças finitas a problemas de campo escalar generalizado em casos de engenharia

Abstract

RESUMO: A área de métodos numéricos ocupa uma posição de destaque como linha de pesquisa ativa na área de Matemática Aplicada e Engenharia. Os métodos numéricos podem ser utilizados como ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. Esta monografia consiste em explorar de forma didática o Método das Diferenças Finitas (MDF), aplicando-o na Equação de Campo Escalar Generalizada para problemas de engenharia em regime estacionário e unidimensionais. Para tanto, foi desenvolvido um algoritmo autoral com formato generalizado em linguagem Python para realizar simulações numéricas com particularizações do modelo mais geral. Optou-se pelo MDF devido a sua aplicação em softwares de simulação numérica amplamente utilizados na indústria. O conhecimento deste método é relevante para fomentar uma análise crítica e aprofundada dos resultados gerados por essas simulações. Utilizou-se aplicações de diferentes áreas de engenharia como transferência de calor, resistência dos materiais e vibrações mecânicas, tendo selecionado problemas somente com solução analítica. Esta pesquisa possui uma natureza básica e define seus objetivos por meio de pesquisa exploratória, utilizando coleta de dados por pesquisa bibliográfica e análise de resultados pelo método quantitativo. Ao avaliar os resultados das aplicações, observou-se que à medida que a malha foi refinada, houve uma melhoria aparente nas métricas estatísticas de erro. Esses resultados evidenciaram a eficácia tanto do método quanto da modelagem do algoritmo desenvolvido.

ABSTRACT: The field of numerical methods holds a prominent position as an active research line in Applied Mathematics and Engineering. Numerical methods can be utilized as extremely powerful tools in problem-solving. This monograph aims to explore, in a didactic manner, the Finite Difference Method (FDM), applied to the Generalized Scalar Field Equation for one-dimensional steadystate engineering problems. To accomplish this, an original algorithm with a generalized format was developed in the Python language to perform numerical simulations with specific variations of the more general model. The FDM was chosen due to its application in widely-used numerical simulation software in the industry. Understanding this method is relevant to foster a critical and in-depth analysis of the results generated by these simulations. Applications from diferente engineering fields, such as heat transfer, materials resistance, and mechanical vibrations, were used, with only analytically solvable problems being selected. This research has a fundamental nature and defines its objectives through exploratory research, employing data collection through bibliographic research and result analysis through quantitative methods. Evaluating the results of the applications, it was observed that as the mesh was refined, there was an apparent improvement in statistical error metrics. These results demonstrated the effectiveness of both the method and the modeling of the developed algorithm.