Aplicação de métodos numéricos e comparação com o método implícito de Colebrook-White na determinação do fator de atrito em escoamentos turbulento

Abstract

RESUMO: A resolução de equações é uma atividade realizada desde a antiguidade. A história da matemática registra que na Mesopotâmia já se usava técnicas algébricas e aproximações de raízes. As equações lineares e quadráticas foram resolvidas pelos gregos através de métodos geométricos e pelos hindus e árabes com métodos aritméticos. O presente trabalho visa explorar métodos de aproximações de raízes que resolvem um problema complexo de engenharia, o valor do fator de atrito para uma tubulação com fluido em escoamento sob regime turbulento. Para resolver tal problema, métodos numéricos para zeros de funções foram utilizados para determinar a raiz de uma função não linear. A equação de Colebrook-White implícita tem sido amplamente usada para estimar o fator de atrito em escoamentos turbulentos. Uma precisa e robusta resolução da equação de Colebrook-White é necessária para um rápido cálculo desse fator de atrito. Este trabalho realiza cálculos desse fator de atrito por meio de métodos numéricos para zeros de funções: método da Bisseção, método da Falsa Posição, método do Ponto Fixo, método de Newton-Raphson e método da Secante. Em seguida, o método implícito de solução da equação de Colebrook-White será feito, sendo possível realizar uma comparação com todos os métodos numéricos para checar o quão preciso são os métodos de zeros de funções. Os resultados foram comparados entre si e em relação ao método implícito de Colebrook-White, sendo esse e o método do Ponto Fixo os mais relevantes em termos de velocidade e precisão para a determinação da raiz, que é o fator de atrito. Para casos gerais o método implícito de Colebrook-White ainda é a melhor escolha para calcular o fator de atrito de um escoamento em regime turbulento. Porém, o método numérico do Ponto Fixo mostrou para uma situação em que se tem uma rugosidade relativa maior que 0,005 e um número de Reynolds em torno de 10 elevado a 8, ele tem uma convergência um pouco mais rápida que o método implícito.

ABSTRACT: Solving equations is an activity performed since antiquity. The history of mathematics records that in Mesopotamia algebraic techniques and root approximations were already used. Linear and quadratic equations were solved by the Greeks using geometrical methods and by the Hindus and Arabs with arithmetical methods. The present work aims to explore root approximation methods that solve a complex engineering problem, the value of the friction factor for a pipe with fluid in a turbulent flow. To solve this problem, numerical methods for zeros of functions were used to find the root of a onlinear function. The implicit Colebrook-White equation has been widely used to estimate the friction factor in turbulent flows. An accurate and robust resolution of the Colebrook-White equation is required for a quick calculation of this friction factor. This work calculates this friction factor through numerical methods for zeros of functions: Bisection method, False Position method, Fixed Point method, Newton-Raphson method and Secant method. Then, the implicit method of solving the Colebrook-White equation will be done, being possible to perform a comparison with all numerical methods to check how accurate are the methods of zeros of functions. The results were compared with each other and in relation to the implicit Colebrook-White method, being this and the Fixed Point method the most relevant in terms of speed and precision for the determination of the root, which is the friction factor. For general cases, the implicit Colebrook-White method is still the best choice to calculate the friction factor of a turbulent flow. However, the Fixed Point numerical method showed for a situation where you have a relative roughness greater than 0.005 and a Reynolds number around 10 to the power of 8, it has a slightly faster convergence than the implicit method.